BARISAN DAN DERET ARITMATIKA

BAB I

PENDAHULUAN

1.1  LATAR BELAKANG

Matematika adalah salah satu ilmu dasar, yang semakin dirasakan interkasinya dengan bidang-bidang ilmu lainnya seperti ekonomi dan teknologi. Peran matematika dalam interaksi ini terletak pada struktur ilmu dan perlatan yang digunakan. Ilmu matematika sekarang ini masih banyak digunakan dalam berbagai bidang seperti bidang industri, asuransi, ekonomi, pertanian, dan di banyak bidang sosial maupun teknik.

Oleh karena itu pembuatan makalah yang berjudul Baris dan Deret Aritmatika ini dilatar belakangi untuk mempermudah proses belajar mengajar mata kuliah matematika dasar serta untuk melatih pembaca agar berfikir dalam menentukan pola bilangan, notasi sigma, jumlah baris aritmatika serta dapat menghitung jumlah deret aritmatika.

1.2  RUMUSAN MASALAH

Berdasarkan latar belakang permasalahan yang dipaparkan di atas, pemakalah dapat merumuskan pembahasan sebagai berikut :

1.      Apa yang dimaksud dengan pola bilangan, barisan dan deret ?

2.      Bagaimana cara membentuk notasi sigma ?

3.      Bagaimana menghitung dan menentukan jumlah baris aritmatika ?

4.      Bagaimana menghitung dan menentukan jumlah deret aritmatika ?

1.3  TUJUAN

1.      Untuk mengetahui apa yang dimaksud dengan pola bilangan, barisan dan deret

2.      Untuk mengetahui bagaimana cara membentuk notasi sigma

3.      Untuk mengetahui cara menghitung barisan aritmatika

4.      Untuk mengetahui cara menghitung deret aritmatika

BAB II

ISI

2.1 POLA BILANGAN, BARISAN DAN DERET

A.    Pola Bilangan

Sejak dulu di sekolah dasar, Anda telah mengenal dan menyebutkan bilangan 1,2,3,4,5,... . Urutan bilangan-bilangan itu kemudian dikenal dengan bilangan asli. Urutan-urutan bilangan lain yang Anda kenal misalnya, bilangan ganjil, bilangan genap, bilangan kelipatan, bilangan kuadrat, dan sebagainya. Sebenarnya, urutan-urutan bilangan tersebut memiliki aturan dan ketentuan-ketentuan tersendiri, sehingga dapat membuat suatu urutan bilangan yang bermakna atau dikenal sebagai barisan bilangan. Sedangkan cara menetapkan aturan atau ketentuan-ketentuan tertentu, sehingga dapat membentuk sebuah barisan bilangan dinamakan dengan pola bilangan.

Pola bilangan adalah susunan bilangan yang memiliki aturan atau pola tertentu. Dalam kehidupan sehari-hari, kita sering menerapkan ilmu matematika yang sebagian besar tersusun dari bilangan-bilangan. Bilangan tersebut pada umumnya ada yang membentuk suatu aturan atau pola. Agar lebih memehami pola dari urutan suatu bilangan, perhatikan contoh-contoh berikut:

a.       1, 2, 3, 4, 5 ... mempunyai pola bilangan di tambah satu dari pola sebelumnya, mulai dari 1.

b.      0, 2, 4, 6, 8, ... mempunyai pola bilangan di tambah dua dari pola sebelumnya, di mulai dari 0.

c.       1, 2, 4, 8, 16, ... mempunyai pola bilangan di kalikan dengan dua dari bilangan sebelumnya, di mulai dari 1.

d.      1, 4, 9, 16, 25, ... mempunyai pola bilangan asli yang di kuadratkan.

B.     Barisan

Barisan bilangan atau barisan, seperti telah dikemukakan di atas adalah suatu urutan bilangan dengan aturan tertentu. Setiap bilangan dalam suatu barisan disebut dengan suku yang disimbolkan dengan U dan setiap suku digabungkan dengan tanda koma ( , ).

Bentuk umum sebuah barisan dapat ditulis :

U₁, U₂, U₃, U₄, ..., U_n                                                  U_n = suku ke-n

Contoh :

Tentukan lima buah suku pertama dari barisan yang memiliki rumus suku ke-n sebagai berikut :

a)      U_n = 2n – 1

Jawab :

U_n = 2n – 1

U₁ = 2(1) – 1 = 1

U₂ = 2(2) – 1 = 3

U₃ = 2(3) – 1 = 5

U₄ = 2(4) – 1 = 7

U₅ = 2(5) – 1 = 9

Jadi lima suku pertama barisan diatas adalah : 1, 3, 5, 7, 9

C.     Deret

Perhatikan kembali barisan U₁, U₂, U₃, U₄, ..., U_n. Jika suku-suku tersebut dijumlahkan dalam bentuk U₁ + U₂ + U₃ + U₄ + ... + U_n maka penjumlahan barisan tersebut dinamakan dengan Deret. Jumlah suku-suku pada barisan hingga n suku pertama dinyatakan dengan S_n. Misalnya jumlah 5 suku pertama ditulis S₅ = U₁ + U₂ + U₃ + U₄ + U₅.

Contoh :

Diketahui suatu deret : 1 + 3 + 5 + ... hitunglah jumlah lima suku yang pertama !

Jawab :

S₅ = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

2.2 NOTASI SIGMA

            Notasi Sigma adalah  sebuah tanda yang dituliskan untuk menuliskan suatu penjumlahan secara singkat. Notasi sigma dituis dengan lambang “∑”. Lambang tersebut merupakan huruf besar Yunani yang berasal dari kata asing “sum” yang artinya jumlah. Secara umum, notasi sigma didefinisikan sebagai berikut.

Misalnya suatu deret diketahui U₁ + U₂ + U₃ +... + U_n maka dinyatakan dengan notasi sigma jumlah suku ke-n deret itu dapat ditulis dengan notasi sigma :

Dibaca : jumlah U_k untuk k = 1 sampai k = n huruf k dinyatakan indeks dari suku U_k

Jika U_k dinyatakan dalam rumus suku k-n misalnya U_k = 2k + 1 , maka jumlah suku ke-n deret itu ditulis dengan notasi sigma :

Contoh soal :

1.      Tulislah deret yang dinyatakan oleh notasi sigma berikut !

Jawab:

Jawab :

2.      Nyatakan setiap deret dibawah ini dalam bentuk notasi sigma !

1 + 4 + 7 + 10 + 13 + 16

Jawab :

Suku ke 1 : 1 = 3x1-2

Suku ke 2 : 4 = 3x2-2

Suku ke 3 : 7 = 3x3-2

Suku ke 4 : 10 = 3x4-2

Suku ke 5 : 13 = 3x5-2

Suku ke 6 : 17 = 3x6-2

Dengan melihat pola pada suku-suku tersebut, dapat disimpulkan bahwa suku dalam penjumlahan tersebut mempunyai pola 3k – 2. Dengan demikian :

2.3  BARISAN ARITMATIKA

Barisan Aritmetika yaitu barisan yang suku-sukunya diperoleh dengan menambahkan suatu bilangan tetap ke suku sebelumnya. Bilangan tetap itu disebut beda atau selisih dan dilambangkan dengan b, sedangkan suku yang pertama (U₁) dilambangkan dengan a. 

b  = beda yang atau selisih

a  = suku pertama

n  = banyaknya suku

Un= suku ke-n= f(n)

Dengan notasi tersebut, bentuk barisan aritmatika secara umum sebagai berikut:

Nilai Un : a, a+b, a+2b, a+3b, a+4b, a+5b,…

Nilai n   : 1    2      3       4         5        6

            Rumus suku ke-n dari barisan aritmatika adalah :

 

dengan b = U_n – U_{n – 1}  

      Contoh Soal :

1.      Diketahui barisan aritmetika  3, 8, 13, …

a.       Tentukan suku ke-10 dan rumus suku ke-n barisan tersebut!

b.      Suku keberapakah yang nilainya 198 ?

Jawab :

a.       Dari barisan aritmetika 3, 8, 13, … diperoleh suku pertama a = 3 dan beda b = 8 – 3 = 5.

U_n   = a + (n – 1)b

U₁₀  = 3 + (10 – 1)5

 = 3 + 9 x 5

 = 3 + 45

 = 48

       U_n   = a + (n – 1)b

              = 3 + (n – 1)5

              = 3 + 5n – 5

              = 5n – 2

b.      Misalnya U_n  = 198, maka berlaku :

U_n  = 198

5n – 2 = 198

5n       = 198 + 2

5n       = 200

n        =  = 40

Jadi 198 adalah suku ke- 40

2.      Suku ketiga sebuah barisan aritmatika adalah 11 dan suku ketujuh adalah 19. Tentukan :

a.       Beda dan suku pertama

b.      Suku ke-n

c.       Suku ke-20

Jawab :

a.       U₃ = 11 , U₇ = 17

Un = a + ( n – 1 )b

U₇ = a + 6b = 19

U₃ = a + 2b = 11   -

                            4b = 8         b = 2

            a + 2b = 11

            a + 2(2)=11

                      a = 11-4 = 7

Jadi beda barisan aritmatika tersebut adalah 2 dan suku pertama adalah 7.

b.      U_n = a + (n – 1)b

     = 7 + (n – 1)2

     = 7 + 2n – 2

     = 2n + 5

c.       Un = 2n + 5

U₂₀ =2(20) + 5

      = 45                     

2.4  DERET ARITMATIKA

                Deret aritmatika adalah penjumlahan suku-suku pada barisan aritmatika. Jumlah n suku pertama dari deret aritmatika dilambangkan dengan S_n. Jumlah n suku pertama dari deret aritmatika ditentukan dengan rumus sebagai berikut :

                                                     Atau

Hubungan U_n dan S_n, U_n = S_n – S_{n – 1}

Contoh :

Carilah jumlah 50 suku yang pertama dari deret aritmetika

2 + 3 + 4 + …

Jawab:

a = 2 , b = 3 – 2 = 1 dan n = 50

S= .50 {2.2 + (50 - 1)1}

     = 25 (4 + 49)

     = 25(53)

     = 1325

2.5  SISIPAN ARITMATIKA

Sisipan yaitu bilangan yang diletakkan diantara dua bilangan. Banyaknya bilangan yang disisipkan tergantung pada yang diminta. Sisipan pada barisan artimatika
apabila diantara 2 suku disisipkan k buah suku sehingga terbentuk barisan aritmatika baru, maka beda suku baru setelah sisipan adalah :

b' =

dengan :

b'= beda setelah sisipan

b = beda sebelum sisipan

k = banyak suku sisipan

Banyaknya suku baru setelah sisipan adalah:

n' = n + (n – 1)k

dengan :

n' = banyak suku setelah sisipan

n = banyak suku sebelum sisipan

k = banyaknya suku sisipan

Jumlah n suku pertama sesudah sisipan adalah :

S_n' = (2a + (n' - 1)b')

Contoh :

1.      Diketahui barisan aritmatika 1 , 7, 13, 19. Jika di antara dua suku berurutan disisipkan dua bilangan sehingga terjadi barisan aritmatika baru, tentukan barisan aritmatika baru itu !

Jawab :

1, 7, 13, 19

Dalam hal ini :  n  =  4, b =  7 – 1 = 6 dan k  =  2, maka

b’  =   =   =   =  2

Sehingga barisan aritmatika baru adalah :  1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19

2.      Diantara 5 dan 50 disisipi 8 bilangan sehingga membentuk barisan aritmatika. Tentukan barisan tersebut.

Jawab :

b = 50 - 5 = 45

b' =  =  =  = 5

Jadi barisan yg dibentuk : 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50.

BAB III

PENUTUP

3.1 KESIMPULAN

1.      Pola bilangan adalah susunan bilangan yang memiliki pola tertentu

2.      Barisan bilangan adalah suatu urutan bilangan dengan aturan tertentu yang masing-masing bilangan dalam urutan tersebut disebut suku dan setiap suku digabungkan dengan tanda koma ( , ). Bentuk umum barisan bilangan U₁, U₂, U₃, U₄, ..., U_n

3.      Deret bilangan adalah penjumlahan dari suku-suku suatu barisan, bentuk umum deret yaitu U₁ + U₂ + U₃ + U₄ + ... + U_n

4.      Notasi sigma digunakan untuk menyingkat penulisan penjumlahan baris aritmetika

5.      Baris aritmetika adalah suatu barisan bilangan yang memiliki selisih dua suku yang berurutan selalu tetap. Rumus suku ke-n baris aritmetika U_n = a + (n – 1)b

6.      Deret aritmatika memiliki rumus jumlah suku pertama S_n = n {2a + (n – 1)b}

7.      Sisipan pada barisan aritmatika apabila diantara 2 suku disisipkan k buah suku sehingga terbentuk barisan aritmatika baru dengan beda atau selisih merupakan selisih baru.